Contoh Makalah Remedial Matematika

Kata Pengantar

Segala puji atas berkat rahmat Allah Yang Maha Kuasa yang telah melimpahkan anugrahnya hingga saya dapat menyelesaikan Makalah Matematika ini.

Dalam kesempatan ini, tidak lupa saya ucapkan terima kasih. Dalam makalah ini saya membahas tentang Logika Matematika. Bila ada salah dan sekurang-kurangnya mohon di maafkan.


DAFTAR ISI

Kata Pengantar 1
Daftar Isi 2
Pembukaan 3
Ingkaran 4
Konjungsi 5
Nilai Kebenarannya 6
Konjungsi Dari Dua Kalinat Terbuka 7
Sekilas Tentang Logika 9
Tabel Kebenaran 12
Daftar Pustaka 14


PEMBUKAAN

Di dalam logika matematika, ada yang di sebut kata hubung logika, yaitu : ”dan”, ”atau”, ”jika... maka”, ”jika dan hanya jika”. Penggabungan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata hubung logika tersebut, menghasilkan pernyataan baru yang secara umum di sebut dengan pernyataan majemuk.
Di sini saya akan membahas tentang logika, pernyataan majemuk yaitu Kojungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi.
Akan tetapi sebelumnya saya akan membahas sedikit tentang lingkaran atau negasi.



LINGKARAN PERNYATAAN

Suatu pernyataan dapat bernilai benar atau dapat bernilai salah. Suatu pernyataan yang benar dapat kita buat menjadi pernyataan yang salah. Demikian juga pernyataan yang salah bisa kita jadikan pernyataan yang benar.

Contoh : 2 + 7 = 9 adalah pernyataan yang benar. Pernyataan ini dapat kita ubah menjadi pernyataan yang salah dengan mengubah tanda ”=” menjadi tanda ”≠”, yaitu : 2 + 7 ≠ 9. pengubahan tanda itulah yang merupakan ingkaran.

Secara umum ingkaran dari pernyataan P, dapat di buat dengan menambahkan kata ”Tidak benar bahwa..” di depan P, yaitu : tidak benar bahwa P.

Ingkaran dari pernyataan P di notasikan dengan ~P.

Nilai Kebenaran p dan ~p

p ~p
B S
S B


KONJUNGSI

Konjungsi dari dua pernyataan

Dua pernyataan tunggal, p dan q, di gabungkan dengan menggunakan kata hubung logika ”dan”, menghasilkan pernyataan majemuk yaitu :”p dan q” yang di sebut kojungsi dari pernyataan p dan q. Kojungsi p dan q di notasikan dengan ”p dan q”.

Contoh :
- p = 12 habis di bagi 6
q = 16 habis di bagi 5
p q = 12 habis di bagi 6 dan 16 habis di bagi 5

- p = matahari mengelilingi bumi
q = bumi adalah meteor
p q = matahari mengelilingi bumi dan bumi
adalah meteor

- p = 3 +4 + 7
q = 7 adalah bilangan prima
p q = 3 +4 = 7 dan 7 adalah bilangan prima


Nilai Kebenarannya

Nilai kebenaran konjungsi dari pernyataan p dan q tergantung pada nilai kebenaran p dan q itu sendiri dan selalu mengikuti ketentuan sebagai berikut ini.
”jika p bernilai benar dan q bernilai benar maka p q benar, dalam hal lain p q salah”
Itu berarti p dan q bernilai benar jika p dan q itu masing-masing bernilai benar pula.
Berikut adalah tabel kebenaran dari Konjungsi p dan q

p q p q

B B B
B S S
S B S
S S S


Kesimpulan dari tabel kebenaran di atas adalah :
- Jika p bernilai benar dan q bernilai benar maka hasilnya pun benar
- Jika p bernilai benar dan q bernilai salah atau sebaliknya maka hasilnya salah.
- Begitu pula jika p bernilai salah dan q pun bernilai salah maka hasilnya pun akan salah


Konjungsi Dari Dua Kalimat Terbuka

Konjungsi dari kalimat terbuka p(x) dan q(x), dapat di tulis dengan p(x) q(x). p(x) q(x) akan bernilai benar apabila X di ganti dengan anggota persekutuan dari himpunan penyelesaian p(x) dan himpunan penyelesaian q(x).
Misal P={x|p(x),p benar} dan Q= {x|q(x),q benar}
Maka P∩Q adalah himpunan penyelesaian p(x) q(x).

Nilai kebenaran dari konjungsi ini tergantung kepada nilai x dan nilai pernyataannya. Jika pernyataan yang ada dalam konjungsi bernilai benar, maka konjungsinya akan bernilai benar untuk setiap x anggota himpunan penyelesaiannya kalimat terbuka yang ada dalam konjungsi dan sebaliknya.


Konjungsi Pada Rangkaian Listrik

Saklar dapat dianggap sebagai suatu pernyataan, yang bernilai benar pada posisi tertutup (on) dan terbuka (off). Jaringan tertutup dan terbuka atau pada posisi saklar tertutup (on) dan terbuka (off) dapat di gambarkan seperti berikut ini :

Jaringan Pernyataan (p)
__Λ__ tertutup
__/ ___ terbuka B
B

Dua buah saklar dapat di rangkai secara seri atau parallel. Rangkaian seri diumpakan sebagai konjungsi pada rangkaian listrik.
Rangkaian seri dapat di gambarkan seperti ini :


Ada empat kemungkinan untuk merangkai dua buah saklar (p dan q) secara seri yaitu :

1. p tertutup dan q tertutup
dalam hal in jaringan tertutup dan arus akan mengalir
2. p tertutup dan q terbuka
dalam hal ini jaringan terbuka arus terputus
3. p terbuka dan q terbuka
dalam hal ini jaringan terbuka dan arus terputus.
4. p terbuka hal ini jaringan terbuka dan arus akan terputus.


Tabel kebenaran dari rangkaian seri dua saklar p dan q sama seperti tabel kebenaran pernyataan majemuk konjungsi seperti beikut :

Saklar 1
p Saklar 2
q Rangkaian Seri
p q

Tertutup (B) Tertutup (B) Tertutup (B)
Tertutup (B) Terbuka (S) Terbuka (S)
Terbuka (S) Tertutup (B) Terbuka (S)
Terbuka (S) Terbuka (S) Terbuka (S)



SEKILAS TENTANG LOGIKA

DISJUNGSI

Dua pernyataang tunggal, p dan q, digabungkan dengan menggunakan kata hubungan logika “atau”, menghasilkan pernyataan majemuk yaitu : “p atau q” yang di sebut dengan disjungsi dari pernyataan p dan q.
Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan “p q”.
Jika p benar atau q benar maka p v q benar, dalam hal lain p v q salah. Itu berarti bahwa p v q salah hanya untuk p salah dan q salah. Nilai kebenaran disjungsi dari pernyataan p dan q dapat disajikan dalam tabel seperti berikut :

p q p v q
B B B
B S B
S B B
S S S

Kesimpulan dari tabel di atas adalah ;
- jika p benar dan q benar maka hasilnya benar.
- jika p benar dan q salah atau sebaliknya maka hasilnya pun tetap benar.
- Tapi adalah p salah dan q salah maka hasilnya salah.



IMPLIKASI

Implikasi di sebut sebagai pernyataan bersyarat atau sebab-akibat dari suatu pernyataan. Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan “p → q”. di bacanya yaitu “jika p dan q”.
Pada pernyataan p → q, p adalah syarat cukup untuk q, atau q adalah syarat perlu untuk p dan p adalah alasan dan q adalah kesimpulannya.

Contoh :
- p : ani rajin olah raga
q : ani anak yang sehat
p → q : jika ani rajin olah raga maka ia anak yang
sehat.

Implikasi p → q benar kecuali untuk p benar dan q benar

Berikut adalah tabel kebenaran implikasi p dan q :

p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B

Kesimpulan dari tabel di atas adalah :
- dalam implikasi jika p sebagai sebab bernilai benar dan q sebagai akibar bernilai salah maka hasilnya akan salah


BIIMPLIKASI

Pernyataan lain yang sering kita temui di dalam logika matematika yaitu “p jika dan hanya jika q” maka itu adalah pernyataan majemuk biimplikasi atau di sebut biimplikasi saja.

Berikut adalah tabel kebenaran dari biimplikasi :

p q p q

B B B
B S S
S B S
S S B

Kesimpulan dari tabel di atas adalah :

- p q benar jika p dan q bernilai sama.



TABEL KEBENARAN, TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI

Sebuah pernyataan dapat majemuk dapat merupakan pernyataan yang selalu bernilai benar, untuk setiap pernyataan yang membentuknya. Pernyataan seperti itu di sebut Tautologi. Di sisi lain sebuah pernyataan selalu bernilai salah, untuk setiap nilai pernyataan-pernyataan yang membentuk. Pernyataan itu di sebut Kontradiksi.

Contoh :

a. [(p → q) p] → q
Tabel kebenaran nya adalah :

p q p → q
p → q p

[(p → q) p] → q

B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B

Maka pernyataan [(p → q) p] → q adalah Tautology.

b. [(p  q) Λ p] Λ~q
Tabel kebenarannya adalah :

p q ~q (p → q) p → q p
[(p → q) p] ~q

B B B B B S
B S S S S S
S B B B S S
S S B B S S

- Perlihatkan bahwa pernyataan [(p → q) p] ~q bernilai
salah untuk semua nilai p dan q. pernyataan ini adalah
kontradiksi.


DAFTAR PUSTAKA

Google
• http://www.chocoseries.co.cc/2008_09_01_archive.html

Buku Matematika Pks